| 最新考纲 | 考情考向分析 |
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1.了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率. 2.了解几何概型的意义. | 以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档 |
1．几何概型的定义
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
3．随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．
(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝作为所求概率的近似值．
概念方法微思考
1．古典概型与几何概型有什么区别？
提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．
2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？
提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )
(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )
(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.( × )
题组二 教材改编
2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )
A. B. C. D．1
答案 B
解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.
3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
答案 A
解析 ∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
4．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括
)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，故选D.
题组三 易错自纠
5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
答案 3
解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当0<m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2<m<4时，由题意得＝，解得m＝3.故m＝3.
6．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为______．
答案
解析 设AC＝x cm(0<x<12)，则CB＝(12－x)cm，则矩形的面积S＝x(12－x)＝12x－x2(cm2)．由12x－x2<32，
即(x－8)(x－4)>0，解得0<x<4或8<x<12.
在数轴上表示，如图所示．
由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.
题型一 与长度、角度有关的几何概型
例1 在等腰Rt△ABC中，直角顶点为C.
(1)在斜边AB上任取一点M，求|AM|<|AC|的概率；
(2)在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率．
解 (1)如图所示，在AB上取一点C′，使|AC′|＝|AC|，连接CC′.
由题意，知|AB|＝|AC|.
由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.
所以P(|AM|<|AC|)＝＝＝.
(2)由于在∠ACB内以C为端点任作射线CM，所以CM等可能分布在∠ACB内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB，所以P(|AM|<|AC|)＝＝＝.
思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．
跟踪训练1 (1)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
答案
解析 方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，
则有即
解得p≥2或<p≤1，又p∈[0,5]，
则所求概率为P＝＝＝.
(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧
，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
答案
解析 因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.
题型二 与面积有关的几何概型
命题点1 与面积有关的几何概型的计算
例2 (1)(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.
(2)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．
答案
解析 由题意知，阴影部分的面积S＝ʃ(4－x2)dx＝＝，
所以所求概率P＝＝＝.
命题点2 随机模拟
例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )
A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32
答案 C
解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，则S椭圆＝0.68×24＝16.32.
(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．
答案 0.4
解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597
7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为＝0.4.
思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
跟踪训练2 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意得(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，
∴π＝，故选C.
(2)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
答案
解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2ʃ(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2[e－e－(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e2，
故由几何概型的概率公式可得所求概率为.
题型三 与体积有关的几何概型
例4 已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O－ABCD的体积不小于的概率为________．
答案
解析 当四棱锥O－ABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h，
则×22×h＝，解得h＝.
如图所示，在四棱锥P－ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.
因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，
所以＝，
所以四棱锥O－ABCD的体积不小于的概率
P＝＝3＝3＝.
思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
A. B.π C. D.
答案 D
解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×3＝π，
则此点落在正方体内部的概率P＝＝.
1．(2018·抚顺模拟)已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－3,3]，在定义域内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由f(x0)≤0，可得－1≤x0≤2，所以D＝3－(－3)＝6，d＝2－(－1)＝3，故由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P＝＝，故选C.
2．在区间[－1,3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 区间[－1,3]的区间长度为4.
不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，
当1<m≤3时，由题意得＝，解得m＝1(舍)，
当0<m≤1时，由＝，则m＝1.故m＝1.
3．若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN(不包括M，N)上时，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM＋CN＝2，所以AE的长度大于5的概率为＝，故选D.
4.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )
A．2－ B．4－
C．－－ D.
答案 B
解析 设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为＝4－，故选B.
5．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0，1)，正弦曲线f(x)＝sin x和余弦曲线g(x)＝cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 根据题意，可得曲线y＝sin x与y＝cos x围成的区域的面积为
＝
＝1－＝1＋.又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是.故选B.
6.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )
A．866 B．500 C．300 D．134
答案 D
解析 设勾为a，则股为a，所以弦为2a，小正方形的边长为a－a，所以题图中大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(－1)2a2，所以小正方形与大正方形的面积比为＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×1 000≈134.
7．记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
答案
解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，
由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，
∴D＝[－2,3]．
如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，
∴P(A)＝.
8．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________．
答案
解析 因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“区域”是长度．设BC＝a，则所求概率P＝＝.
9.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．
答案
解析 因为
＝
＝AA1×S△ABD
＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，
故所求概率为＝.
10.正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入到正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是______．
答案
解析 正方形内空白部分面积为ʃ[x2－(－x2)]dx
＝ʃ2x2dx＝·x3|＝－＝，
阴影部分面积为2×2－＝，
所以所求概率为＝.
11．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，
由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．
故满足a·b＝－1的概率为＝.
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．
满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．
画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为.
12．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．
A为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P(A)＝
＝
＝＝.
13．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________；
答案
解析 设任取两点所表示的数分别为x，y，则0≤x≤1，且0≤y≤1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A，则A＝，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2×××＝，所以所求两点之间的距离小于的概率P(A)＝＝.
14．向圆C：(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．
答案 －
解析 如图所示，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以∠ACB＝60°，所以S圆C＝π×22＝4π，所以S弓形ADB＝－×2×＝－，所以向圆C内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝＝－.
15．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( )
A．p1<p2<p3 B．p2<p3<p1
C．p3<p1<p2 D．p3<p2<p1
答案 B
解析 因为x，y∈[0,1]，所以事件“x＋y≥”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S1，事件“|x－y|≤”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S2，事件“xy≤”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S3，由图知，阴影部分的面积满足S2<S3<S1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p2<p3<p1.
16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．
解 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2，
则OD＝DA＝DC＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，
所以整个图形中空白部分面积S2＝2.
又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，
所以P＝.
